디지털의 NAND 게이트처럼, 모든 수학 함수를 만들어내는 '단 하나의 연산자'

TL;DR 컴퓨터 공학에서 NAND 게이트 하나로 모든 논리 회로를 구성하듯, 연속 수학(Continuous Mathematics)에서도 단 하나의 이항 연산자만으로 모든 기초 함수를 표현할 수 있다는 연구가 발표되었습니다. ’eml(x,y) = exp(x) - ln(y)‘라는 이 단일 연산자는 복잡한 수식을 단순한 이진 트리 구조로 통일시켜, AI가 데이터로부터 수학 공식을 추론하는 기호 회귀(Symbolic Regression) 모델의 효율성을 크게 높일 수 있습니다.

디지털 하드웨어의 역사는 ‘단순화’의 역사입니다. 1950~60년대에 NAND나 NOR 같은 단일 논리 게이트(Universal Gate)만으로 모든 컴퓨터 프로세서를 만들 수 있다는 사실이 확립되면서 하드웨어 설계는 혁명적인 발전을 이루었습니다. 반면, 공학용 계산기나 과학 연산 소프트웨어에서 다루는 연속 수학(Continuous Mathematics) 분야에서는 덧셈, 곱셈, 사인(sin), 로그(log) 등 다양한 연산자를 섞어 쓰는 것이 당연하게 여겨져 왔습니다. 그런데 최근, 연속 수학에서도 디지털의 NAND 게이트처럼 모든 수학적 표현의 ‘궁극적인 기본 블록’이 될 수 있는 단일 연산자가 발견되어 컴퓨터 과학 및 인공지능 학계의 이목을 끌고 있습니다.

핵심 내용

오랜 기간 수학 및 컴퓨터 과학계에서는 연속 수학의 모든 기초 함수를 생성할 수 있는 단일 원시 연산자(Primitive operator)가 존재할 것이라 예상하지 못했습니다. 하지만 체계적인 탐색 결과, eml(x,y) = exp(x) - ln(y)라는 단일 이항 연산자와 상수 ‘1’만 있으면 덧셈, 곱셈, 삼각함수 등은 물론 파이(pi)나 허수(i) 같은 상수까지 모두 만들어낼 수 있음이 확인되었습니다. 예를 들어 지수 함수 exp(x)는 eml(x,1)로 표현됩니다. 이 방식을 적용하면 모든 수학 공식은 동일한 노드로 구성된 단순한 이진 트리(Binary tree) 형태, 즉 S -> 1 | eml(S,S)라는 매우 단순한 문법으로 변환됩니다. 연구진은 이 균일한 구조를 머신러닝에 적용하여, Adam 옵티마이저를 사용한 기호 회귀 모델이 트리 깊이(depth) 4 이하의 얕은 구조에서 수치 데이터로부터 닫힌 형태(closed-form)의 기초 함수를 정확하게 복원해내는 것을 입증했습니다.

기술적 인사이트

소프트웨어 엔지니어와 AI 연구자 관점에서 이 발견의 가장 큰 가치는 ‘수식 탐색 공간의 구조적 균일화’에 있습니다. 기존의 기호 회귀(Symbolic Regression) AI 모델들은 다양한 종류의 연산자를 조합해야 했기에 탐색 공간이 불규칙하고 경사 하강법(Gradient Descent)을 적용하기 까다로웠습니다. 하지만 모든 수식을 단일 연산자의 이진 트리로 통일하면 신경망이 학습하기 훨씬 좋은 매끄러운 구조가 됩니다. 다만 기술적인 트레이드오프도 명확합니다. 기존 컴퓨팅 환경은 각 연산(+, *, sin 등)에 최적화된 하드웨어 알고리즘(FPU 등)을 사용하여 매우 빠릅니다. 반면, EML(Exp-Minus-Log) 방식은 단순한 덧셈 하나를 구하기 위해서도 지수함수와 로그함수를 깊게 중첩해야 하므로 연산 비용(Computational intensity)이 기하급수적으로 증가합니다. 따라서 이는 연산 속도를 위한 하드웨어 아키텍처라기보다는, 기계가 수학을 이해하고 추론하기 위한 ‘새로운 표현 계층(Representation layer)‘으로 보는 것이 타당합니다.

시사점

이 기술은 데이터로부터 숨겨진 물리 법칙이나 화학 공식을 AI가 스스로 찾아내는 ‘과학적 머신러닝(Scientific Machine Learning)’ 분야에 새로운 돌파구를 제공할 수 있습니다. 탐색 알고리즘을 훨씬 단순하게 설계할 수 있기 때문입니다. 하지만 이것이 당장 프로그래밍 언어의 수학 라이브러리나 하드웨어 구조를 바꿀 것이라는 기대는 시기상조입니다. 아직 다중 연산자 기반의 기존 방식과 비교한 구체적인 속도 벤치마크나 대규모 데이터셋에서의 정확도 비교가 부족하며, 깊은 트리를 계산할 때 발생하는 부동소수점 오차 문제 등도 검증되어야 합니다. 당분간은 컴퓨팅 성능보다는 ‘표현의 단순성’이 더 중요한 AI 기반 방정식 탐색 및 기호 연산(Symbolic Computation) 특화 모델에서 실험적으로 도입될 가능성이 높습니다.

복잡해 보이는 우주의 법칙들이 어쩌면 우리가 생각했던 것보다 훨씬 더 단순한 단 하나의 규칙에서 파생되었을지도 모른다는 사실은 매우 흥미롭습니다. AI가 인간이 이해할 수 있는 형태의 수학적 지식을 스스로 구축해 나가는 과정에서, 이러한 수학적 ‘최소 단위’의 발견이 어떤 새로운 인공지능 아키텍처를 탄생시킬지 지켜볼 만합니다.

참고문헌

April 14, 2026 ∙ symbolic-computation machine-learning mathematics symbolic-regression

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